Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire

Bonjour,

Je reprend ici (je savais pas trop où le mettre, mais bon, comme on va y parler de processus poisonnien, ça a un lien assez fort avec la radioactivité..) un post qui commençai par la norme 11929 (après on dirai que l'on n'en parle plus de celle là) et où incidemment j'en suis arrivé à tenter une expérience  :

lancer un cours pratique  en ligne sur les statistiques, les probabilités, les incertitudes, l'approche bayesienne et tout le tremblement. Mais sans se farcir trop de théorie, juste en fabriquant des vraies variables aléatoires, les mélanger, les secouer, les faire se reproduire, etc.., bref, un truc qui peut être ludique (vpersonne n'étant obligé d'aimer non plus)
perso sans cela je ne n'y serai jamais aller

L'idée est de vous proposer ici une expérience inédite : une formation en ligne progressive, en reprenant le chemin que j'avais abordé il y a 20 ans, à l'époque ou je n'y comprenais que pouic


1 ouvrez une feuille Excel
2 : tapez dans une cellule exactement cela : =ALEA()

Vous obtenez un nombre 
tapez sur F9
Le nombre change!
Vous venez de créer une variable aléatoire (la cellule) et chaque fois que vous appuyez sur f9, vous obtenez une réalisation de cette variable aléatoire
Votre première mission consiste à établir la loi de probabilité de cette variable aléatoire, sa moyenne et son écart-type

Une petite info : à gauche de votre première cellule tapez 1
puis dessous tapez 2
sélectionnez les deux cellules et tirez vers le bas jusqu'à obtenir une colonne numéroté de 1 à 1000 par exemple
revenz sur la cellule "alea", double-cliquez en sélectionnant le coin den bas en droite (petite croix noire)
Vous obtenez ainsi 1000 réalisations indépendantes de votre variable aléatoire

La seconde leçon consistera à fabriquer un compteur nucléaire à partir de cet aléa. mais avant on reproduira le jeu de pile ou face (0 ou 1 en fait)

A vous de jouer
Ou pas

Gluonmou

Bonsoir
Encore merci à notre cher Gluonmou pour ce cours on ne peut plus appliqué !
J'ai essayé, ça fonctionne parfaitement. En pourtant c'est un tableur excel  
Pour ceux qui sont rebutés par les formules théoriques, on ne pouvait rêver meilleur professeur.
Iron Kloug

Y'en a qui s'ennuie ?

Bonjour Gluonmou,

Je trouve :
moyenne : autour de 0.50
ecart type : autour de 0.29
loi de probabilité : vous pouvez répéter la question...

A+

Ah, enfin, 1 joueur

Suffisant pour continuer le Game

Bonjour Seb

OK pour la moyenne, égale exactement à µ=1/2 (si l'on écrit 0,50 il faudrait rajouter une infinité de 0)
l'écart-type vaut exactement  sigma=1/(2*racine(3)), très proche de 0,29 effectivement

remarque importante : µ et sigma (au passage plus moyen de mettre des caractères grecs) sont appelé les paramètres de la loi de probabilité de notre variable aléatoire. Ici les valeurs que j'ai donné sont les paramètres vraies. Ce concept est important, voire fondamental dans notre histoire. Toutes les lois de probabilités sont caractérisés par une loi et par des paramètres qui apparaissent dans l'expression de la loi, souvent moyenne et écart-type (loi de Gauss par exemple), mais pas toujours (loi binomiale ou loi bêta par exemple). Certaines variables aléatoires sont caractérisées par des lois avec un seul paramètres, ce qui simplifie pas mal les choses (nous aurons l'occasion d'y revenir)

Concernant la loi de probabilité (ou distribution), en gros c'est décrire d'une part le domaine de définition de la variable aléatoire (ça c'est l’abscisse), et d'autre part la (densité de ) probabilité pour chaque valeur possible (ça c'est l'ordonné)

Ou pour faire plus simple, si tu as tiré 1000 valeurs, c'est l'histogramme des valeurs (en toute rigueur c'est l'histogramme des fréquences, on y reviendra)

A ce stade tu peux tirer 10 000 valeurs au lieu de 1000, c'est pas plus cher (la théorie disant que pour avoir la loi rigoureusement exacte il faudrait tirer une infinité de valeurs, mais bon, 10000 c'est pas mal)

En plus en faisant F9 chaque fois tu auras 10000 valeurs toutes neuves, avec un histogramme qui va bouger un peu


A toi de jouer

Gluonmou

PS : un petit conseil : il te faudra discrétiser l'axe des abscisses, je te conseille de prendre un pas de 0,01 (1 centième).
C'est arbitraire mais il faut choisir, car en toute rigueur notre variable aléatoire (VA) est continue, donc entre 2 valeurs quelconques il y a une infinité de valeurs possibles

On est ici dans une problématique de nature épistémologique : on est obligé de discrétiser le continue, ce qui est un écart massif par rapport à la réalité
Ce n'est pas le dernier....

Bonjour cher Gluonmou,

Peu de choses à voir avec le sujet à proprement dit mais ton sujet me fait penser à ce petit article sur la création ou l'illusion de l'aléatoire dans les différents programmes de nos chers PC : https://engineering.mit.edu/engage/ask-an-engineer/can-a-computer-generate-a-truly-random-number/

Du coup ça pose la question comment Excel gère cette fonction ALEA() en tant que vrai nombre aléatoire ou alors est ce que cette fonction se base sur des lois statistiques pour la génération des nombres aléatoires ?

Et merci pour ces petits jeux cher Gluonmou, ça permet de comprendre qu'on ne comprend au final pas grand chose ou en surface des choses que l'on utilise régulièrement.

Hello,

daima a écrit:

Du coup ça pose la question comment Excel gère cette fonction ALEA() en tant que vrai nombre aléatoire ou alors est ce que cette fonction se base sur des lois statistiques pour la génération des nombres aléatoires ?

Je m'étais penché sur la question, Excel utilise une fonction ALEA qui suit la loi normale, basé sur l'algorithme Mersenne Twister, c'est à dire permettant de modéliser plutôt correctement ce phénomène aléatoire, même si en pseudo-aléatoire.
De mémoire, la période se chiffre en plusieurs milliards de milliards de milliards..., donc entre ça et un générateur basé sur des phénomènes physiques, il devrait y avoir peu de différences

@Gluonmou :

Citation :

On est ici dans une problématique de nature épistémologique : on est obligé de discrétiser le continue, ce qui est un écart massif par rapport à la réalité

Le truc assez intéressant, lors d'une expérience avec un vrai tube Geiger-Muller, c'est qu'en utilisant une moyenne glissante, j'arrive à créer de la fausse information avec des phénomènes cycliques.

J'ai à peu près une loi de poisson :




Moyenne glissante sur 15 secondes :


Sur 120s :


Ce que l'on peut en fait remarquer assez facilement avec le rapport variance/moyenne, qui devrait s'approcher de 1 dans le cas idéal :



Amha il y a également un gros bruit venant de la réactivité du circuit, des capas parasites & co

Bonjour,

Juste une remarque : l'aléa d'Excel génère effectivement une variable pseudo-aléatoire, comme tous générateurs basé sur un algorithme déterministe (ou  sur les décimales de pi etc...).
Il en existe un grand nombre et je ne connais pas celui utilisé par Excel, et effectivement sa période est largement suffisante pour que l'on puisse considérer cette variable pseudo-aléatoire comme une vraie variable aléatoire.

j'espère ici que je ne vais pas tomber sur un puriste des générateurs aléatoires (dont c'est parfois le métier) qui va me faire un procès, me prendre le choux tout en me pondant une pendule.

Par contre et pour répondre à Kakura, le random d'Excel ne génère pas une variable gaussienne, et c'est tant mieux (je vous dirai pourquoi après).

par contre moi j'attend juste la réponse de mon joueur unique, à sa convenance,  pour préciser tout cela, et ne pas  spolier  le jeu en cours.

Pour l'instant nous en sommes à : quelle est la loi de probabilité de cette VA? (on a dit que ce n'était pas une gaussienne)

Gluonmou

Cool, un cours particulier de Gluonmou, mon prof préféré 

Après quelques bidouilles sur Excel, j’ai :
-          Créé 10 000 valeurs aléatoires
-          Rangé chacune de ces valeurs dans 100 intervalles de 0.01 entre 0 et 1
-          Représenté le nombre de valeurs par intervalle sous la forme d'un histrogramme.
 
Pas très impressionnant. Pour chaque intervalle je trouve un nombre de valeur autour de 100
 
Est-ce que la réponse est :
-          Domaine de distribution de la variable aléatoire : de 0 à 1
-          Densité de probabilité : identique pour toute les valeurs

Sébastien (qui  en attendant le résultat de sa copie )

Tir n°1 :


Tir n°2 :

Bonjour,
chouette un jeu
Zut...des stats
Je me lance, je dirais loi Normale?

Nickel

On constate qu'effectivement on peut s'autoriser à penser (ainsi que le disais un grand auteur) que l'on a  affaire à une variable aléatoire continue entre 0 et 1 (qui peut prendre toutes les valeurs possibles entre 0 et 1, ce qu représente une infinité de possiblités..)

Ce que tu as construit est l'histogramme pour 10000 valeurs, réparties sur 100 classes (classes de largeur dx=0,01)

Et comme la distribution est uniforme, on obtient dans chaque classe en moyenne 100 valeurs (10 000 / 100)
Valeurs qui fluctuent en faisant f9 ou d'une classe à l'autre
On notera que le remplissage des classes devient en soi une autre variable aléatoire 'il faut commencer à s'habituer dans ce monde où tout bouge)

Ce que tu as construit est ce que l'on appelle l'histogramme des effectifs

A partir de là je pourrais te demander (attention, passage important) :

" considère une cellule isolée avec "=ALEA()  dedans. 
 Compte-tenu de ton expérience sur cette petite bébète (tes moultes histogrammes) Quelle est alors la probabilité (on notera ici que ce concept de probabilité émerge ici assez naturellement naturellement) d'obtenir sur un tirage unique une valeur comprise entre  0,51 et 0,52"

là c'est assez facile , mais c'est un point charnière, et on avance pas à pas

A toi de jouer

Gluonmou

Je choisis B...

Quelques questions subsidiaires qui vont nous aider pour un passage délicat en surplomb, après ça ira mieux :

Q1) Après avoir estimé la probabilité d'un tirage  unique compris entre 0,51 et 0,52 (la largeur d'une classe)
quelle est alors la probabilité d'obtenir un tirage (une réalisation) entre 0,51 et 0,53 (largeur de 2 classes)


Q2) Quelle est la probabilité d'avoir exactement 0,10000. (soit 1/10 , ça évité d'avoir à écrire une infinité de 0)


Q3) Quelle est la probabilité d'avoir une réalisation comprise entre 0 et 1 (la question semble idiote et la réponse médiate, mais elle débouche sur un axiome fondamental des probabilités)


A vous de jouer, elève Seba
Elève Domino, vous arrivez après le début des cours....
Je ne vais pas vous demander un mot du Dirlo, je suis certain que vous avez une bonne excuse, peut être même une dizaine.
mais essayer de reprendre au début, et donnez vie à vos propres VA, c'est indispensable


Gluonmou, le prof qu'a l'air cool mais en fait non

Purée, trop fort le Seba!!

j'attend juste la réponse aux 3 autres questions pour le public

Je dirais :
pour Q1 : 0.02
pour Q2 : ... je cale ... pile poile "1/10" ... je pense quasi aucune, mais je préférerai appeler un ami 
pour Q3 : facile celle la : 1. 

Mais je me méfie des probabilités... Meme les blagues des statisticiens sont difficiles à comprendre :
Trois statisticiens vont à la chasse au canard. Un canard décolle. Le premier tire et passe dix centimètres au-dessus. Le second tire et passe dix centimètres en-dessous. Le troisième, tout sourire : "c'est bon les gars, on l'a eu !"

Ben pour la seconde question je dirais un intervalle de 10 classes

Sinon pour les canards, je ne connaissais pas avec les statisticiens mais avec les médecins, ça donne: un médecin interniste, un chirurgien et un légiste vont à la chasse: un premier canard décolle, l'interniste se demande si c'est un col vert, un male ou une femelle...et le canard est loupé. Le chirurgien voit un truc qui bouge, il tire et dit au légiste: vas voir ce que j'ai tiré.

Mais on se dissipe peut être un peu professeur Gluonmou

Hello,

Gluonmou a écrit:

Par contre et pour répondre à Kakura, le random d'Excel ne génère pas une variable gaussienne, et c'est tant mieux (je vous dirai pourquoi après).

J'ai fourché, ALEA devrait normalement sortir des valeurs uniformément distribuées, et non une normale

Hello,

Gluonmou a écrit:

Par contre et pour répondre à Kakura, le random d'Excel ne génère pas une variable gaussienne, et c'est tant mieux (je vous dirai pourquoi après).

J'ai fourché, ALEA devrait "normalement" sortir des valeurs uniformément distribuées, et non une normale
Il faut juste suivre de fonction subsidiaire pour taper sur une normale.
[Fin de l'aparté]

Edit : Je viens de voir que j'ai posté en double en éditant. Est-il possible de supprimer le premier message ? Je n'ai pas cette possibilité, merci !

Correction de la copie :
 
Q1 : nickel
Q2 : ben non, c'est 0 (j'y reviens)
Q3 : ben oui
 
Bon , en fait quelle es tla théorie derrière tout cela :
 
Lorsque dans une classe on a environ 100 tirages pour un total de 10 000 réalisation, soit une fréquence de 1/100 ème , on fait alors un grand salto arrière et l'on émet l'hypothèse que cette fréquence peut devenir la probabilité d'un 10 000 + 1 ième tirage à venir.
 
Notez que le grand salto arrière donne naissance au concept de probabilité, un concept pas si évident que ça
 
L'effectif, c'est un truc qui se mesure sur les doigts, la fréquence faut juste faire une division : nombre de "succès"/ nombre total d'essais
 
De là à passer aux probabilités, ben je vous revoie aux ouvrages épistémologiques sur le sujet, mais on sent bien que l'on tient un truc qui tient la route.
 
Que nous dit la question 1 : que cette probabilité est proportionnelle à la largeur de la classe, ici en passant de dx=0,01 à dx=0,02 la probabilité double
 
Attention : je me rend compte d'un risque de confusion : la largeur de la classe est ici égale à la probabilité, mais les 2 trucs sont différents : une probabilité est un nombre sans dimension compris entre 0 et 1 (toujours) alors que dx peut avoir une dimension physique, des mètres, des kg etc...
 
 
Brèfle
 
En fait la probabilité est une grandeur proportionnelle à la largeur de classe
 
P( 0,51 <x<0,53)=K*dx avec ici dx=0,02 et P( 0,51 <x<0,53)= (aussi)0,02
 
On en déduit que cette constante de proportionnalité est ici égale à f=0,02/0,02=1, pile poil
 
C'est ici un cas particulier, parce que la variable est définie entre 0 et 1, soit une largeur totale Dx=1
 
C'est cohérent avec la réponse 3 car avec cette variable , lorsque l'on fait un tirage, on a par construction 100 %  (P=1) de chance d'avoir une valeur comprise entre 0 et 1
 
Quand à la question 2 : le nombre 1/10 est un nombre particulier "infiniment fin (dx=0)
Donc la probabilité d'avoir ce nombre est égal à K*dx=1*0=0
 
Autre façon de voir les choses : il y a une infinité de nombre réels compris entre 0 et 1, donc la probabilité d'avoir pile poil une valeur donnée "sans marge dx" est égale en terme de fréquence à 1 valeur rapporté à une infinité de valeurs possibles, soit 0
 
ça donne le vertige, non?
 
la quantité f(x)=P(x à dx près)/dx est ce que l’on appelle une densité de probabilité
C'est à dire une probabilité par unité de quelque chose
Des trucs comme ça vous en croisez tout le temps sans savoir


par exemple la constante radioactive lambda (y'a quelqu'un qui pourrait remettre les caractères grecs siouplait merci?) en s-1 est en fait la probabilité de désintégration par unité de temps


Et le coefficient d'atténuation linéaire µ (cuilà il est sur le clavier) en cm-1 est une probabilité d'interaction du photon par unité de longueur


Pour aller à l'essentiel notre variable aléatoire est une VA continue et uniforme entre 0 et 1 de densité de probabilité (uniforme donc, soit constante) f(x)=1 pour  0<x <1


Il est important de se rappeler que si l'on veut parler en termes de probabilités, il faut alors multiplier la densité de probabilité  par une largeur dx P(x à dx près)= f(x) dx
En dehors des variables de loi uniforme, les densités de probabilité sont des fonctions f(x) de la VA x


On peut alors élargir l'intervalle dx et s’intéresser à la probabilité qu'une VA apparaisse dans l'intervalle [ a; b]
Cette probabilité est alors l'intégrale de f(x) sur l'intervalle [ a; b], soit encore la surface sous la courbe sur cet intervalle


Et lorsque l'on intègre sur l'intervalle total (sur toutes les valeurs possibles) alors cette intégrale doit être égale à 1, ce qui est une propriété fondamentale des lois de probabilités (2ième axiome de Kolmogorov)


Remarque  : une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 (1er axiome de Kolmogorov), alors qu'une densité de probabilité peut prendre n'importe quelle valeur dans certains cas (loi de gauss par exemple)


Petite question pour continuer :soit x une VA définie entre 0 et 1 de loi uniforme, soit f(x)=1, de moyenne 0,5 et d'écart-type 1/2racine(3)


Quelle sont alors la loi, la moyenne et l'écart-type de la VA  y=2x+3


Après on fera des trucs plus marrants, promis
Là on pose les bases indispensables


Gluonmou

Hello,

manière très pédagogique d'aborder les aspects liés aux phénomènes aléatoires. Merci pour ça

Iron Kloug a écrit:

J'ai essayé, ça fonctionne parfaitement. En pourtant c'est un tableur excel

J'ai bien ri en lisant ça.

Gluonmou a écrit:

lambda (y'a quelqu'un qui pourrait remettre les caractères grecs siouplait merci?)

Possible soit en allant dans les smileys "Voir plus de smileys" puis dans la liste déroulante "Grec et Math" soit directement en mettant ":" avant et après lambda => (bbcode)

A+

Toz

Maitre a écrit:

Petite question pour continuer :soit x une VA définie entre 0 et 1 de loi uniforme, soit f(x)=1, de moyenne 0,5 et d'écart-type 1/2racine(3)


Quelle sont alors la loi, la moyenne et l'écart-type de la VA  y=2x+3

Loi : uniforme aussi
Moyenne : 4
Ecart type : 1/2racine(3)

Au pif, j'ai jamais aimé les stats et c'est en mettant des bêtises sur le forum que gluonmou peut voir là ou ça coince dans la compréhension.

La variable x allant de 0 à 1, alors la variable y=2x+3 s'étend de 0 à 5
Sa moyenne est donc , sans calcul, 2,5 
et son écart-type est égal à 2/2racine(3)=1/racine(3)
 
là pour l'écart-type  je l'écrit directement parce que je connais la relation fondamentale :
 
Var(a X+b)=a^2 Var(X)
 
L'opérateur Variance(Var) est un opérateur qui appliqué à une VA en donne la variance, la variance étant le carré de l'écart-type
 
On en déduit que ( aX +b)= a (X)  (pour les caractères grecs c'est mon vieux PC sous XP qui ne les prend pas en compte, je suis passé sur mon autre PC)
 
Ici dans notre exemple a=2


Mais bon, ça c'est la théorie


Pour le voir à travers une simulation on reprend notre tableau avec 10 000 tirages "alea()"pur pommes


On va la garder telle quelle 


a droite à coté de la premiere cellule (par exemple B3), soit la cellule C3, on écrit :


=2*B3+3


Le B3 il faut le saisir à la souris (c(est simple à faire et moins simple à expliquer)


éventuellement pour enrichir le truc on peut écrire dans 2 cellules distinctes les constantes 2 et 3 en nommant les cellules a et b(aller dans le champ"nom"des cellules) et écrire littéralement a*B3+b


Ensuite on tire cette cellule C3 pour en obtenir là encore 1O OOO
en haut de cette colonne on rentre dans des cellules, pour faire de la statistique descriptive
le min des valeurs
le max
la moyenne
l'écart-type


Et on termine en faisant l'histogramme de cette colonne

 Ou vous retrouverez la solution au problème
 
L'intéret du truc ,c'est que maintenant au lieu d'étudier la variable gentille aX+ b, vous pouvez fabriquer la variable a*cos( b* X^2)
vous aurez instantanément les réponses(moyenne, ecart-type, distribution...)


Alors que sur papier, un tel truc c'est l'horreur


C'est l’intérêt des techniques de Monte-Carlo


Mais là maintenant on va reprendre le chemin du compteur


A partir de la variable alea toujours, fabriquez dans une seconde colonne à droite  un variable qui ne peut prendre que 2 valeurs : 0 ou 1


Avec la probabilité p (on va commencer par p=0,5) et 1-p de prendre 0


on va commencer par p=0,5 pour simuler un jeu de pile ou face



Une petite indication : compte-tenu de l'exercice précédent, on se posera la question de savoir quel est le domaine de définition (elle va de ou à ou?)  de la variable ALEA() +p


A vous de jouer


Gluonmou

Je bloque sur : La variable x allant de 0 à 1, alors la variable y=2x+3 s'étend de 0 à 5. Pourquoi ça n'est pas de 3 à 5 ?

Parce que je me suis trompé

L’âge sans doute (c'est pour ça que je préfère simuler)
ça va bien de 3 à 5 et la moyenne est donc 4

Où l'on retrouve avec une autre propriété avec l'opérateur Espérance E
Cet opérateur appliqué à une VA X  donne sa moyenne vraie µ :
Un de ses propriétés fondamentale est : E(Y=aX+b)=aE(X)+b
E(x)=0,5 donc on a bien E(Y)=2*0,5+3=4

Alors, sinon, le jeu de pile ou face?
Il est instructif car il permet d'obtenir une série chronologique très instructive

Quand je vois ma dernière phrase je me dis que je ferais mieux d'aller faire une sieste